В 2009 году он стал частью команды издательства «Эксмо». Позже вошел в совет директоров акционерного общества «Национальная книжная сеть», которое управляет Объединенной розничной сетью «Читай город — Буквоед» и ГК «ЛитРес». В 2015 году был назначен вице-президентом по развитию бизнеса и инвестициям в холдинге «Эксмо-АСТ».

В феврале 2024 года Александр Брычкин стал генеральным директором ключевых юрлиц книжной сети «Читай-город — Буквоед» — ООО «Читай-город», ООО «Буквоед», ООО «Новый книжный М» и АО «АСТ» (владеет 100% ООО «Буквоед» и ООО «Новый книжный М»).

Ранее Александр Брычкин руководил корпорацией «Российский учебник», которая специализировалась на выпуске учебной литературы. Он провел на этой должности с 2017 по 2019 года. До назначения на пост руководителя Брычкин занимал должность руководителя дирекции по электронной коммерции «Читай-город — Буквоед».

В «Читай-город — Буквоед» Брычкин сменил Дмитрия Репина, который занимал эту должность чуть более двух лет. До Репина компанией руководил Михаил Иванцов. Новый гендиректор займется реализацией обновленной стратегией сети. Также он сделает акцент на развитие взаимодействия с читателем во всех каналах продаж книг.

Александр Брычкин — выпускник Финансовой академии при Правительстве РФ, кандидат экономических наук.