Борис Алексеевич Акимов родился 31 марта 1978 года в Москве в семье Алексея Георгиевича Акимова — доктора химических наук, профессора и художницы Елены Владимировны Акимовой.

В 1992—1993 годах учился в США, в городе Такома, штат Вашингтон.

В 2000 году получил высшее образование в Российском государственном гуманитарном университете на факультете политологии, аспирантуре Финансовой академии при Правительстве РФ по специальности «философия».

Работал заместителем главного редактора журналов «Rolling Stone», в создании русской версии которого принимал непосредственное участие, и «Афиша», впоследствии — креативным директором проекта «Сноб».

В 2005 году защитил кандидатскую диссертацию по философии.

В 2009 году вместе с друзьями — специалистом в сфере IT Александром Михайловым и продавцом Василием Пальшиным основал проект «LavkaLavka» в сфере социального предпринимательства. В 2013 году запустил собственное фермерское хозяйство.

В январе 2020 года передал управление LavkaLavka одному из партнеров, но сохранил за собой 21,7% ООО «ЛавкаЛавка», а также право на торговую марку. Новым местом работы стала «Азбука вкуса» – предприниматель занял пост директора по развитию фермерского направления сети. Среди его обязанностей — развитие собственных брендов сети, вывод на рынок небольших фермерских хозяйств, создание инфраструктурных решений для продажи ремесленных товаров и пр.